Question

閱讀下列因式分解的過程，再回答所提出的問題：
1+x+x（x+1）+x（x+1）²
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）²（1+x）
=（1+x）³
（1）上述分解因式的方法是______，共應用了______次．
（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）²⁰⁰⁴，則需應用上述方法______次，結果是______．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）²+…+x（x+1）ⁿ（n為正整數）．

Answer 1

解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共應用了2次．

（2）需應用上述方法2004次，結果是（1+x）²⁰⁰⁵．

（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，
=（1+x）²（1+x）+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，
=（1+x）³+x（x+1）³+…+x（x+1）ⁿ，
=（x+1）ⁿ+x（x+1）ⁿ，
=（x+1）ⁿ⁺¹．
分析：此題由特殊推廣到一般，要善于觀察思考，注意結果和指數之間的關系．
點評：本題考查了提公因式法分解因式的推廣，要認真觀察已知所給的過程，弄清每一步的理由，就可進一步推廣．