Question

【題目】如圖①，已知點、在直線上，且于點，且，以為直徑在的左側作半圓于點，且．

（1）若半圓上有一點，則的最大值為__________；

（2）向右沿直線平移得到．

①如圖②，若截半圓的的長為，求的度數；

②當半圓與的邊相切時，求平移距離．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①75°；②10－或2＋

【解析】

（1）連接AD，易知當點F與點D重合時，AF最大，然后利用勾股定理求出結論；

（2）①連接EG、EH，根據弧長公式即可求出∠GEH，從而證出△EGH為等邊三角形，然后求出∠EGH=60°，可得，然后根據平行線的性質、等邊對等角求出∠EGO即可求出結論；

②根據與半圓相切和與半圓相切分類討論，然后分別畫出圖形，根據切線的性質和勾股定理求出，從而求出平移距離．

解：（1）連接AD，易知當點F與點D重合時，AF最大

∵，

∴AD=

即AF的最大值即為

故答案為：;

（2）①連接EG、EH

∵的長為，

∴∠GEH=×180°÷=60°

∵EG=EH

∴△EGH為等邊三角形

∴∠EGH=60°

∴

∵

∴∠EGH=

∴GE∥直線l

∴∠GED=

∵EG=EO

∴∠EGO=∠EOG=

∴=－∠EGO=75°

②當與半圓相切時，切點為P，連接、PE

∴EP⊥，EO⊥直線l，EP=EO

∴平分∠

∴∠=∠=30°

在Rt△中，=

∴平移距離=AO－=10－；

當與半圓相切時，切點為P，連接EP并延長交直線l于點F，連接

∴∠EPA′=∠FPA′=90°，A′O=A′P

∵，

∴∠=180°－－=30°

∴∠PFA′=60°，cos∠=

∴

在Rt△OFE中，OF=

∵

∴

解得：

∴平移距離=AO－=2＋

綜上：平移距離為10－或2＋．