Question

【題目】如圖所示，直線，垂足為點是直線上的兩點，且．直線繞點按逆時針方向旋轉，旋轉角度為．

（1）當時，在直線上找點，使得是以為頂角的等腰三角形，此時_____．

（2）當在什么范圍內變化時，直線上存在點，使得是以為頂角的等腰三角形，請用不等式表示的取值范圍：_________．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）45°≤≤135°且≠90°

【解析】

（1）先求出旋轉后與的夾角，然后根據題意以點B為圓心，的長為半徑作弧，與直線的交點P即為所求，利用銳角三角函數即可求出BC和OC，再利用勾股定理求出PC，從而求出結論；

（2）當由圖可知：當BC≤AB且A、B、P不共線時，直線上存在點，使得是以為頂角的等腰三角形，求出當BC=AB=時，的度數，然后根據題意即可求出結論．

解：（1）當時，此時與的夾角為90°－60°=30°

以點B為圓心，的長為半徑作弧，與直線的交點P即為所求，即BP=AB=，過點B作BC⊥，

BC=OB·sin30°=1＜BP，OC=OB·cos30°=

∴在直線上存在兩個P點滿足題意

根據勾股定理PC=

∴OP=OC－PC或OP=OC＋PC

∴OP=或

故答案為：或；

（2）當由圖可知：當BC≤AB且A、B、P不共線時，直線上存在點，使得是以為頂角的等腰三角形，

當BC=AB=時，

sin∠BOC=

∴∠BOC=45°

當點B在直線右側時，

90°－∠BOC=45°；

當點B在直線左側時，

90°＋∠BOC=135°；

∵BC≤AB且A、B、P不共線時

∴45°≤≤135°且≠90°

故答案為：45°≤≤135°且≠90°．