Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，AT是經過點A的切線，弦CD垂直AB于P點，Q為線段CP的中點，連接BQ并延長交切線AT于T點，連接OT．

（1）求證：BC∥OT；

（2）若⊙O直徑為10，CD＝8，求AT的長；

（3）延長TO交直線CD于R，若⊙O直徑為10，CD＝8，求TR的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）10；（3）8

【解析】試題分析：（1）此題要通過構造相似三角形求解，由于P是CD的中點，由垂徑定理知CD⊥AB，有切線的性質可得：AT⊥AB，由此可證得AT∥CD，得取PB的中點E，則又因為等量代換后可證得由此可得△TAO∽△QPE，根據相似三角形所得的等角，可證得OT∥QE,而QE是的中位線，則 QE∥BC，根據平行線的傳遞性即可證得BC∥OT．
（2）（3）題可利用△TAO∽△CPB，求出AT和OT的值，再利用△AOT∽△POR求出OR的值，從而解決問題．

試題解析：（1）證明：取PB的中點E，連接QE,

∵Q是PC的中點，E是PB的中點,

∴QE為△PBC的中位線，QE∥BC,

∵AT為經過A點的切線，AB為直徑,

∴AT⊥AB,

∵CD⊥AB，∴AT∥CD，∠TAO＝∠QPE＝90°,

∴△BPQ∽△BAT，

∵PB＝2PE，AB＝2AO，

∴△TAO∽△QPE，∴∠AOT＝∠PEQ,

∴OT∥QE,

∵QE∥BC，∴BC∥OT .

（2）∵CD⊥AB，AB為直徑，CD＝8,

∴CP＝PD＝4,

連接OC,

在Rt△OCP中，∵PC＝4，

∴OP＝3，∴PB＝OB－OP＝2,

BC∥OT，∴△TAO∽△CPB，

∵

∴AT＝10,

（3）解：在Rt△TAO中，

∵AT∥CR，∴△AOT∽△POR,

∴

∴