Question

【題目】已知：正方形ABCD的邊長為4，點E為BC的中點，點P為AB上一動點，沿PE翻折△BPE得到△FPE，直線PF交CD邊于點Q，交直線AD于點G，聯接EQ．

（1）如圖，當BP=1.5時，求CQ的長；
（2）如圖，當點G在射線AD上時，BP=x，DG=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）延長EF交直線AD于點H，若△CQE與△FHG相似，求BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由翻折性質，可知PE為∠BPQ的角平分線，且BE=FE．

∵點E為BC中點，

∴EC=EB=EF，

∴QE為∠CQP的角平分線．

∵AB∥CD，

∴∠BPQ+∠CQP=180°，即2∠EPQ+2∠EQP=180°，

∴∠EPQ+∠EQP=90°，

∴∠PEQ=90°，即PE⊥EQ．

易證△PBE∽△ECQ，

∴ ，即 ，

解得：CQ=

（2）

解：由（1）知△PBE∽△ECQ，

∴ ，即 ，

∴CQ= ，∴DQ=4﹣ ．

∵QD∥AP，∴ ，又AP=4﹣x，AG=4+y，

∴ ，

∴y= （1＜x＜2）

（3）

解：由題意知：∠C=90°=∠GFH．

①當點G在線段AD的延長線上時，如答圖1所示．

由題意知：∠G=∠CQE

∵∠CQE=∠FQE，

∴∠DQG=∠FQC=2∠CQE=2∠G．

∵∠DQG+∠G=90°，

∴∠G=30°，

∴∠BEP=∠CQE=∠G=30°，

∴BP=BEtan30°= ；

②當點G在線段DA的延長線上時，如答圖2所示．

由題意知：∠FHG=∠CQE．

同理可得：∠G=30°，

∴∠BPE=∠G=30°，

∴∠BEP=60°，

∴BP=BEtan60°=2 ．

綜上所述，BP的長為 或2

【解析】（1）首先確定∠PEQ=90°，即PE⊥EQ，然后利用△PBE∽△ECQ，列出比例式求出CD的長度；（2）根據△PBE∽△ECQ，求出DQ的表達式；由QD∥AP，列出比例式求解；（3）本問分兩種情形，需要分類討論，避免漏解．
【考點精析】關于本題考查的相似三角形的判定與性質，需要了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．