Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，記∠ABC＝α，點D為射線BC上的動點，連接AD，將射線DA繞點D順時針旋轉α角后得到射線DE，過點A作AD的垂線，與射線DE交于點P，點B關于點D的對稱點為Q，連接PQ．

（1）當△ABD為等邊三角形時，

①依題意補全圖1；

②PQ的長為　 　；

（2）如圖2，當α＝45°，且BD＝時，求證：PD＝PQ；

（3）設BC＝t，當PD＝PQ時，直接寫出BD的長．（用含t的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）①詳見解析；②2；（2）詳見解析；（3）BD＝．

【解析】

（1）①根據題意畫出圖形即可．

②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性質證明PQ＝PA即可．

（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通過計算證明DF＝FQ即可解決問題．

（3）如圖3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．設BD＝x，則CD＝x﹣t， ，利用相似三角形的性質構建方程求解即可解決問題．

（1）解：①補全圖形如圖所示：

②∵△ABD是等邊三角形，AC⊥BD，AC＝1

∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°

∴

∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°

∴PA＝ADtan60°＝2

∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ

∴△PDA≌△PDQ（SAS）

∴PQ＝PA＝2．

（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如圖：

∵PA⊥AD，

∴∠PAD＝90°

由題意可知∠ADP＝45°

∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP

∴PA＝PD

∵∠ACB＝90°

∴∠ACD＝90°

∵AH⊥PF，PF⊥BQ

∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°

∴四邊形ACFH是矩形

∴∠CAH＝90°，AH＝CF

∵∠ACH＝∠DAP＝90°

∴∠CAD＝∠PAH

又∵∠ACD＝∠AHP＝90°

∴△ACD≌△AHP（AAS）

∴AH＝AC＝1

∴CF＝AH＝1

∵，BC＝1，B，Q關于點D對稱

∴，

∴

∴F為DQ中點

∴PF垂直平分DQ

∴PQ＝PD．

（3）如圖3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．設BD＝x，則CD＝x﹣t，

∵PD＝PQ，PF⊥DQ

∴

∵四邊形AHFC是矩形

∴

∵△ACB∽△PAD

∴

∴

∴

∵△PAH∽△DAC

∴

∴

解得

∴．

故答案是：（1）①詳見解析；②2；（2）詳見解析；（3）．