Question

如圖所示，在正方形ABCD中，點G是邊BC上任意一點，DE⊥AG，垂足為E，延長DE交AB于點F．在線段AG上取點H，使得AG=DE+HG，連接BH．求證：∠ABH=∠CDE．

Answer 1

證明見解析

試題分析：根據正方形的性質可得AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，再根據同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角邊角”證明△ABG和△DAF全等，根據全等三角形對應邊相等可AF=BG，AG=DF，全等三角形對應角相等可得∠AFD=∠BGA，然后求出EF=HG，再利用“邊角邊”證明△AEF和△BHG全等，根據全等三角形對應角相等可得∠1=∠3，從而得到∠2=∠3，最后根據等角的余角相等證明即可。　
證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，

∵DE⊥AG，∴∠2+∠EAD=90°。
又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2。
在△ABG和△DAF中，
∵∠1=∠2，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，
∴△ABG≌△DAF（ASA）。
∴AF=BG，AG=DF，∠AFD=∠BGA。
∵AG=DE+HG，AG=DE+EF，∴EF=HG。
在△AEF和△BHG中，∵AF=BG，∠AFD=∠BGA，EF=HG，
∴△AEF≌△BHG（SAS），∴∠1=∠3。∴∠2=∠3。
∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE。