Question

【題目】已知四邊形ABCD是菱形，AC、BD交于點E，點F在CB的延長線上，連結EF交AB于H，以EF為直徑作⊙O，交直線AD于A、G兩點，交BC于K點．

（1）如圖1，連結AF，求證：四邊形AFBD是平行四邊形；

（2）如圖2，當∠ABC＝90°時，求tan∠EFC的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連結OG，點P在弧FG上，過點P作PT∥OF交OG于T，PR∥OG交OF于R點，連結TR，若AG＝2，在點P運動過程中，探究線段TR的長是否為定值，如果是，則求出這個定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接AF，由EF是⊙O的直徑知FA⊥AC，由四邊形ABCD是菱形知BD⊥AC、AD∥FB，據此可得FA∥BD，即可得證；

（2）連接EK，先證四邊形ABCD是正方形，由EF是⊙O的直徑知FK⊥EK，設BK＝EK＝a，則BC＝AD＝FB＝2a，根據tan∠EFC＝可得答案；

（3）連接OP、FA，過點O作OM⊥GD，并延長MO交FC于點N，先證四邊形PROT是矩形得RT＝OP＝OG，由MN⊥FC知tan∠EFC＝tan∠GOM＝，由AG＝2、OM⊥GD知GM＝1、OM＝3，由勾股定理可得GO＝，繼而可得答案．

（1）如圖1，連接AF，

∵EF是⊙O的直徑，

∴∠FAC＝90°，即FA⊥AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴BD⊥AC，AD∥BC、即AD∥FB，

∴FA∥BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形；

（2）如圖2，連接EK，

∵∠ABC＝90°，四邊形ABCD是菱形，

∴四邊形ABCD是正方形，

∵EF是⊙O的直徑，

∴FK⊥EK，

設BK＝EK＝a，則BC＝AD＝FB＝2a，

則tan∠EFC＝=；

（3）TR的長是定值，

如圖3，連接OP、FA，過點O作OM⊥GD，并延長MO交FC于點N，

∵EF是⊙O的直徑，

∴FA⊥EA，

又∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC＝45°，

∴∠GAF＝45°，

∴∠GOF＝90°，

∵PT∥OF、PR∥OG，

∴四邊形PROT是矩形，

∴RT＝OP＝OG，

∵OM⊥GD、GD∥FC，

∴MN⊥FC，

∴tan∠EFC＝tan∠GOM＝，

∵AG＝2、OM⊥GD，

∴GM＝1，

∴OM＝3，

由勾股定理可得GO＝，

∴RT＝．