Question

【題目】如圖，已知拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=OC，經過點B的直線與拋物線的另一交點D在第二象限．

（1）求拋物線的函數表達式．
（2）若∠DBA=30°，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF，一動點M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數，且m＞0）與x軸從左至右依次交于A、B兩點，

令y=0，解得x=﹣1或x=2，

則A（﹣1，0），B（2，0），

∵OA=OC，

∴C（0，﹣1），

∵點C（0，﹣1）在拋物線y=m（x+1）（x﹣2）上，

∴m×（0+1）×（0﹣2）=﹣1，

解得m= ．

∴拋物線的函數表達式為：y= （x+1）（x﹣2）

（2）

解：∵∠DBA=30°，

∴設直線BD的解析式為y=﹣ x+b，

∵B（2，0），

∴0=﹣ ×2+b，解得b= ，

故直線BD的解析式為y=﹣ x+ ，

聯立兩解析式可得 ，

解得 ， ．

則D（﹣ ， ），

如圖，過點D作DN⊥x軸于點N，過點D作DK∥x軸，

則∠KDF=∠DBA=30°．

過點F作FG⊥DK于點G，則FG= DF．

由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+ DF，

∴t=AF+FG，即運動的時間值等于折線AF+FG的長度值．

由垂線段最短可知，折線AF+FG的長度的最小值為DK與x軸之間的垂線段．

過點A作AH⊥DK于點H，則t最小=AH，AH與直線BD的交點，即為所求的F點．

∵A點橫坐標為﹣1，直線BD解析式為：y=﹣ x+ ，

∴y=﹣ ×（﹣1）+ = ，

∴F（﹣1， ）．

綜上所述，當點F坐標為（﹣1， ）時，點M在整個運動過程中用時最少

【解析】（1）首先求出點A、B坐標，然后根據OA=OC，求得點D坐標，代入拋物線y=m（x+1）（x﹣2）（m為常數，且m＞0），求得拋物線解析式；（2）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF，運動時間：t=AF+ DF．如答圖3，作輔助線，將AF+ DF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直線BD的交點，即為所求的F點．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．