Question

【題目】在中，，，，動點從點開始沿邊向點以每秒1個單位長度的速度運動，動點從點開始沿邊向點以每秒2個單位長度的速度運動，過點作，交于點，連接．點分別從點同時出發，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為秒．

（1）如圖①，直接用含的代數式分別表示：　 　，______，

（2）如圖②，

①當_____秒時，四邊形為平行四邊形．

②是否存在的值，使四邊形為菱形？若存在，寫出的值；若不存在，請求出當點的速度（勻速運動）變為每秒多少個單位長度時，才能使四邊形在某一時刻成為菱形？

（3）設的外接圓面積為，求出與的函數關系式，并判斷當最小時，的外接圓與直線的位置關系，并且說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）①，②不存在菱形，詳見解析；（3）的外接圓與直線相交．詳見解析

【解析】

（1）根據題意得到CQ=2t，AP=t，求出BQ，證明△ADP∽△ABC，根據相似三角形的性質求出PD；
（2）①根據平行四邊形的判定方法列出關于t的方程，解方程即可；

②根據菱形的判定方法列出關于t的方程，解方程，看是否符合題意；

（3）于，于，于，連接、、，由勾股定理找到與的函數關系式，并求得S最小時，t的值，從而求出OM的長，再判斷圓與直線的位置關系.

（1）由題意得，CQ=2t，AP=t，
則BQ=8-2t，
∵DP⊥AC，BC⊥AC，
∴PD∥BC，
∴△ADP∽△ABC，
∴=，即=，
解得PD=
故答案為：8-2t；；

（2）①∵PD∥BC，
∴當PD=BQ時，四邊形PDBQ為平行四邊形，
∴8-2t=
解得t=，
則當t=時，四邊形PDBQ為平行四邊形；

②不存在菱形，

設點的速度為每秒個單位長度．

則，，．

要使四邊形是菱形，則．

當，即．解得．

當，時，即，解得．

∴當點的速度為每秒個單位時，經過秒，四邊形是菱形．

（3）如圖，是的外接圓的圓心，作于，于，于，連接、、．

∵

∴；

∴時，取最小值．

此時，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴的外接圓與直線相交．