Question

如圖1，已知直線y=x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，將直線在x軸下方的部分沿x軸翻折，得到一個新函數的圖象（圖中的“V形折線”）．

（1）類比研究函數圖象的方法，請列舉新函數的兩條性質，并求新函數的解析式；

（2）如圖2，雙曲線y=與新函數的圖象交于點C（1，a），點D是線段AC上一動點（不包括端點），過點D作x軸的平行線，與新函數圖象交于另一點E，與雙曲線交于點P．

①試求△PAD的面積的最大值；

②探索：在點D運動的過程中，四邊形PAEC能否為平行四邊形？若能，求出此時點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）如圖1，均是正整數新函數的兩條性質：①函數的最小值為0；

②函數圖象的對稱軸為直線x=﹣3；

由題意得A點坐標為（﹣3，0）．分兩種情況：

①x≥﹣3時，顯然y=x+3；

②當x＜﹣3時，設其解析式為y=kx+b．

在直線y=x+3中，當x=﹣4時，y=﹣1，

則點（﹣4，﹣1）關于x軸的對稱點為（﹣4，1）．

把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，

得，解得，

∴y=﹣x﹣3．

綜上所述，新函數的解析式為y=；

（2）如圖2，①∵點C（1，a）在直線y=x+3上，

∴a=1+3=4．

∵點C（1，4）在雙曲線y=上，

∴k=1×4=4，y=．

∵點D是線段AC上一動點（不包括端點），

∴可設點D的坐標為（m，m+3），且﹣3＜m＜1．

∵DP∥x軸，且點P在雙曲線上，

∴P（，m+3），

∴PD=﹣m，

∴△PAD的面積為

S=（﹣m）×（m+3）=﹣m²﹣m+2=﹣（m+）²+，

∵a=﹣＜0，

∴當m=﹣時，S有最大值，為，

又∵﹣3＜﹣＜1，

∴△PAD的面積的最大值為；

②在點D運動的過程中，四邊形PAEC不能為平行四邊形．理由如下：

當點D為AC的中點時，其坐標為（﹣1，2），此時P點的坐標為（2，2），E點的坐標為（﹣5，2），

∵DP=3，DE=4，

∴EP與AC不能互相平分，

∴四邊形PAEC不能為平行四邊形．