Question

【題目】閱讀下面材料：

小炎遇到這樣一個問題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF=45°，連結EF，則EF=BE+DF，試說明理由．

小炎是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法將這些分散的線段相對集中．她先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，最后發現線段AB，AD是共點并且相等的，于是找到解決問題的方法．她的方法是將△ABE繞著點A逆時針旋轉90°得到△ADG，再利用全等的知識解決了這個問題（如圖2）．

參考小炎同學思考問題的方法，解決下列問題：

（1）如圖3，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E，F分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足_ 關系時，仍有EF=BE+DF；

（2）如圖4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，若BD=1， EC=2，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互補）；（2）∴

【解析】

試題(1)如圖，△ABE繞著點A逆時針旋轉90°得到△ADG，利用全等的知識可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三點共線，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．

(2) 把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合，通過證明△AEG≌△AED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的長．

(1)∠B+∠D=180°（或互補）．

(2)∵ AB=AC，

∴ 把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合．

則∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．

∵在△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．

∴ EC2+CG2=EG2．

在△AEG與△AED中,

∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD．

又∵AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED ．

∴DE=EG．

又∵CG=BD,

∴ BD2+EC2=DE2．

∴．