Question

已知：用兩個邊長為3全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD且，把一個含60°的三角尺與這個菱形疊合；如果使三角尺60°的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合．將三角尺繞A點按逆時針方向旋轉（旋轉角小于60°）．

（1）當三角尺的兩邊與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F．
①BE、CF有何數量關系，并證明你的結論．
②接EF，求△CEF面積的最大值．
（2）連接BD，在旋轉過程中三角尺的兩邊分別與BD相交于點M、N，是否存在以BM、MN、ND為邊的直角三角形？若存在，求BM的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵△ABC和△ACD為等邊三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，∠BAC=60°，AB=AC，
又∵∠EAF=60°，且∠BAE=∠BAC-∠AEC=60°-∠AEC，∠CAF=∠EAF-∠AEC=60°-∠AEC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵在△ABE和△ACF中，

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠B=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ABE，AE=AF，
又∵等邊△ABC的邊長為3，且S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF，S_△ABC=S_△AEC+S_△ABE，
∴S_{四邊形AECF}=S_△ABC=

1

2

×3×

3 3

2

=

9 3

4

，
∴S_△ECF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF=S_△ABC-S_△AEF=

9 3

4

-S_△AEF，
又∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF為等邊三角形，
∴三角尺運動過程中，當AE⊥BC時，S_△AEF最小，S_△ECF最大，
∴當AE⊥BC時，AE=

3 3

2

，S_△AEF=

1

2

×

9

4

×

3 3

2

=

27 3

16

，
則S_△ECF=

9 3

4

-S_△AEF═

9 3

4

-

27 3

16

=

9 3

16

；
（3）將△ABM繞點A逆時針旋轉120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，
∵△ADP≌△ABM，
∴∠PAD=∠BAM，
又∵∠EAF=60°，∠CAD=60°，∠EAC=∠EAF-∠FAC=60°-∠FAC，
∴∠DAF=∠CAD-∠FAC=60°-∠FAC，
∴∠EAC=∠DAF，
∴∠PAN=∠PAD+∠DAF=∠BAM+∠EAC=∠BAC=60°，
又∵在△AMN和△APN中，

AM=AP ∠MAN=∠PAN AN=AN

，
∴△AMN≌△APN（SAS），
∴MN=PN，
又∵在△PND中，MN=PN，BM=PD，
∴△PND即為以MN，BM，ND為邊的三角形，
易知∠PDN=60°，
所以△PND為直角三角形的情況分為兩種：
①∠PND=90°，如圖4所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3

3

，
∴ND=

1

2

PD，PN=

3

2

PD，
則BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3

3

=PD+

1

2

PD+

3

2

PD，
則BM=PD=3

3

-3；

②∠NPD=90°，如圖5所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3

3

，
∴ND=2PD，PN=

3

PD，
∴BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3

3

=PD+2PD+

3

PD，
則BM=PD=

3 3 -3

2

．