Question

（2013•橋東區二模）如圖，Rt△ABC在平面直角坐標系中，BC在x軸上，B（-1，0）、A（0，2），AC⊥AB．
（1）求線段OC的長．
（2）點P從B點出發以每秒4個單位的速度沿x軸正半軸運動，點Q從A點出發沿線段AC以

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個單位每秒速度向點C運動，當一點停止運動，另一點也隨之停止，設△CPQ的面積為S，兩點同時運動，運動的時間為t秒，求S與t之間關系式，并寫出自變量取值范圍．
（3）Q點沿射線AC按原速度運動，⊙G過A、B、Q三點，是否有這樣的t值使點P在⊙G上？如果有求t值，如果沒有說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用△AOB∽△COA即可求得OC=4．
（2）分當P在BC上，Q在線段AC上時、當P在BC延長線上，Q在線段AC上時、當C、P、Q都在同一直線上利用△CQD∽△CAO求得t值即可．
（3）若點P在圓G上，因為AC⊥AB，所以BQ是直徑，所以∠BPQ=Rt∠，即PQ⊥BC，則BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，得到有關t的式子求解即可．

解答：解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠ABO+∠ACO=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠BAO=∠ACO，∠ABO=∠OAC，
∴△AOB∽△COA，
∴

OC

AO

=

AO

OB

∵B（-1，0）、A（0，2），
∴OA=2，OB=1，
∴

OC

2

=

2

1

，
∴OC=4；

（2）①當P在BC上，Q在線段AC上時，（0＜t＜

5

4

）過點Q作QD⊥BC于D，
如圖所示，則CQ=2

5

-

5

t，CP=5-4t，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=

1

2

CP•QD=

1

2

（5-4t）（2-t），
即S=2t²-

13

2

t+5（0＜t＜

5

4

）；
②當P在BC延長線上，Q在線段AC上時（

5

4

＜t＜2），過點Q作QD⊥BC于D，
如圖所示，則CQ=2

5

-

5

t，CP=4t-5，
由△CQD∽△CAO可得QD=2-t，
所以S=

1

2

CP•QD=

1

2

（4t-5）（2-t），
即S=-2t²+

13

2

t-5（

5

4

＜t＜2），
③當t=

5

4

或t=2時C、P、Q都在同一直線上，S=0．

（3）若點P在圓G上，因為AC⊥AB，所以BQ是直徑，所以∠BPQ=90°，即PQ⊥BC，
則BP²+PQ²=BQ²=BA²+AQ²，
得|4t|2+|2-t|2=(

5

)2+(

5

t)2，
解得t1=

1

2

，t2=-

1

6

（不合題意，舍去）
所以當t=

1

2

時，點P在圓G上．
（也可以在（2）的基礎上分類討論，利用相似求得）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、坐標與圖形性質、勾股定理及圓周角定理的知識，綜合性比較強，難度較大．本題中重點滲透了方程思想．