Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿過B點的一條直線BE折疊這個三角形， 使C點與AB邊上的一點D重合．

(1)當∠A滿足什么條件時，點D恰為AB的中點?寫出一個你認為適當的條件，并利用此條件證明D為AB的中點；

(2)在(1)的條件下，若DE＝1，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠A=30°；（2）．

【解析】試題分析：（1）根據折疊的性質：△BCE≌△BDE，BC=BD，當點D恰為AB的中點時，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；當添加條件∠A=30°時，由折疊性質知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可證：D為AB的中點；

（2）在Rt△ADE中，根據∠A，ED的值，可將AE、AD的值求出，又D為AB的中點，可得AB的長度，在Rt△ABC中，根據AB、∠A的值，可將AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC進行求解即可．

解：（1）添加條件是∠A=30°．

證明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，

∵C點折疊后與AB邊上的一點D重合，

∴BE平分∠CBD，∠BDE=90°，

∴∠EBD=30°，

∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA；

∵ED為△EAB的高線，所以ED也是等腰△EBA的中線，

∴D為AB中點．

（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．

在Rt△ADE中，根據勾股定理，得AD==，

∴AB=2，∵∠A=30°，∠C=90°，

∴BC=AB=．

在Rt△ABC中，AC==3，

∴S△ABC=×AC×BC=．