Question

【題目】如圖1，已知∠MPN的角平分線PF經過圓心O交⊙O于點E、F，PN是⊙O的切線，B為切點．

（1）求證：PM也是⊙O的切線；

（2）如圖2，在（1）的前提下，設切線PM與⊙O的切點為A，連接AB交PF于點D；連接AO交⊙O于點C，連接BC，AF；記∠PFA為∠α．

①若BC=6，tan∠α=，求線段AD的長；

②小華探究圖2之后發現：EF2=mODOP（m為正整數），請你猜想m的數值？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①4；②4.

【解析】

（1）過點O作OA⊥PM，垂足為A，連接OB，根據切線的性質可得出OB是⊙O的半徑且OB⊥PN，由PF平分∠MPN利用角平分線的性質可得出OA=OB，進而可證出PM也是⊙O的切線；

（2）①由PM、PN都是⊙O的切線可得出PA=PB，利用等腰三角形的三線合一可得出OP⊥AB、AD=BD，由三角形中位線的性質可得出OD=3，設⊙O的半徑為r，則FD=r+3，AD=（r+3），在Rt△AOD中，利用勾股定理可求出r的值，將其代入AD=（r+3）中即可求出AD的長度；

②由∠OAP=∠ODA=90°、∠AOP=∠DOA可證出△OAP∽△ODA，利用相似三角形的性質可得出OA2=ODOP，結合EF=2OA可證出EF2=4ODOP，即m=4．

（1）證明：在圖1中，過點O作OA⊥PM，垂足為A，連接OB．

∵PN是⊙O的切線，B為切點，

∴OB是⊙O的半徑，且OB⊥PN．

∵PF平分∠MPN，

∴OA=OB，

∴PM也是⊙O的切線；

（2）①∵PM、PN都是⊙O的切線，

∴PA=PB．

∵∠APD=∠BPD，

∴OP⊥AB，AD=BD．

∵OD為△ABC的中位線，

∴OD=BC=3．

設⊙O的半徑為r，則FD=r+3，

∵tan∠α=，

∴AD=（r+3）．

在Rt△AOD中，OA2=AD2+OD2，即r2=[（r+3）]2+32，

解得：r=5，

∴AD=（r+3）=4．

②猜想m=4．

證明：∵∠OAP=∠ODA=90°，∠AOP=∠DOA，

∴△OAP∽△ODA，

∴，即OA2=ODOP，

又∵EF=2OA，

∴EF2=4ODOP，

∴m=4．