Question

【題目】如圖，△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，過(guò)A作BC的平行線(xiàn)交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，且AF=BD，連接BF.

(1)求證:BD=CD;

(2)如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形，證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠AFE=∠DCE，由中點(diǎn)的定義得到AE=DE，根據(jù)三角形全等的判定易證得△AFE≌△DCE，利用全等三角形的性質(zhì)得AF=DC，而AF=BD，即可得到D是BC的中點(diǎn)；

（2）在（1）的基礎(chǔ)上，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和有三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形.

試題解析：證明:∵AF∥BC，∴∠AFE=∠ECD.

又∵E為AD的中點(diǎn)，∴AE=DE.

在△AFE與△DCE中，∵

∴△AFE≌△DCE(AAS)，∴AF=CD.

又∵AF=BD，∴BD=CD.

(2)解:當(dāng)AB=AC時(shí)，四邊形AFBD是矩形.

證法一:由(1)知，D為BC的中點(diǎn)，又∵AB=AC，

∴AD⊥BC.

∵AF∥BC，∴∠DAF=∠ADB=90°.

∵△AFE≌△DCE(已證)，∴CE=EF.

∴DE為△BCF的中位線(xiàn)，∴DE∥BF.

∴∠FBD=∠EDC=90°，

∴四邊形AFBD是矩形.

證法二:∵AF=BD，AF∥BD，

∴四邊形AFBD是平行四邊形.

由(1)知，D為BC的中點(diǎn)，又∵AB=AC，

∴AD⊥BC(三線(xiàn)合一)，即∠BDA=90°.

∴AFBD是矩形.