Question

如圖，已知：邊長為1的正方形ABCD頂點都在⊙O上，P為邊CD的中點，直線AP交圓于E點．求弦DE的長．

Answer 1

分析：設圓心為O，連接OD、OE，過點O作OF⊥DE于F，根據圓周角定理可得∠DAE=

1

2

∠DOE，根據垂徑定理可得∠DOF=

1

2

∠DOE，DE=2DF，然后求出△ADP和△OFD相似，根據相似三角形對應邊成比例可得

OD

AP

=

DF

DP

，再根據正方形的性質求出OD，利用勾股定理列式求出AP，然后代入比例式進行計算即可求出DF，然后求出DE．

解答：解：如圖，設圓心為O，連接OD、OE，過點O作OF⊥DE于F，
由圓周角定理得，∠DAE=

1

2

∠DOE，
由垂徑定理可得，∠DOF=

1

2

∠DOE，DE=2DF，
又∵∠ADC=∠OFD=90°，
∴△ADP∽△OFD，
∴

OD

AP

=

DF

DP

，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴OD=

1

2

×

12+12

=

2

2

，
∵P是CD的中點，
∴DP=

1

2

，
根據勾股定理，AP=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∴

2 2

5 2

=

DF

1 2

，
解得DF=

10

10

，
∴DE=2DF=2×

10

10

=

10

5

．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，圓周角定理，垂徑定理，正方形的性質，作輔助線構造出直角三角形與相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．