Question

如圖，已知在邊長為1的正方形ABCD中，以D為圓心、DA為半徑畫弧

AC

，E是AB上的一動點，過E作

AC

的切線交BC于點F，切點為G，連GC，過G作GC的垂線交AD與N，交CD的延長線于M．
（1）求證：AE=EG，GF=FC；
（2）設AE=x，用含x的代數式表示FC的長；
（3）在圖中，除GF以外，是否還存在與FC相等的線段，是哪些？試證明或說明理由；
（4）當△GDN是等腰三角形時，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）根據切線長定理即可得出AE=EG，GF=FC．
（2）根據（1）的結果，那么EF=AE+FC，我們用AE表示出BE，用CF表示出BF，那么可用勾股定理在三角形EBF中求出AE和CF的關系．
（3）應該是ND，可通過構建全等三角形來求解，連接DF，關鍵是證三角形MND和DFC全等．根據切線長定理和垂徑定理，那么DF⊥CG，由于BC是切線，因此∠FCG=∠GMC，根據同角的余角相等可得出∠FDC=∠FCG=∠GMC，又有一組直角，DM=DC（都是半徑）由此可得出兩三角形全等，那么ND=FC．
（4）如果GDN是等腰三角形，那么只有一種情況GN=ND，此時三角形GND和CGF全等，此時DG=GC=DC，因此可得出三角形DGC是等邊三角形，（2）中得出了用x表示CF的式子，那么可在直角三角形MDN中根據特殊角30°和MD即正方形的邊長來得出DN的值，然后求出x即可得出AE的長．

解答：解：（1）由于EA、EF、FC都是圓D的切線，且A、G、C是切點，
因此根據切線長定理，可得出AE=EG，GF=FC；

（2）設FC=t，BE=1-x，BF=1-t，EF=x+t，
在直角三角形BEF中，（1-x）²+（1-t）²=（x+t）²，
解出t=

1-x

1+x

，
∴FC=

1-x

1+x

；

（3）存在，ND=FC，GF是⊙D的切線，
∴∠DGF=90°，
連DF，那么DF平分弧GC，且DF⊥CG，
∵∠FCG=90°-∠GCD，∠GMC=90°-∠GCD，
∴∠FCG=∠GMC，
∵∠MDN=∠DCF=90°，MD=DC，
∴△MDN≌△DCF，
∴DN=FC；

（4）當△GDN是等腰三角形時，只能有GN=ND，
∴△GDN≌△GFC，
∴GD=DC=CG，∠DGC=60°，ND=MDtan30°=

3

3

=

1-x

1+x

，
∴x=2-

3

．

點評：本題主要考查了切線長定理、垂徑定理，正方形的性質和全等三角形的判定等知識點．根據切線的性質得出角的度數或邊相等是解題的關鍵．