Question

【題目】如圖，將一個直角三角板中30°的銳角頂點與另一個直角三角板的直角頂點疊放一起.（注：∠ACB與∠DEC是直角，∠A=45°，∠DEC=30°）.

（1）如圖①，若點C、B、D在一條直線上，求∠ACE的度數；

（2）如圖②，將直角三角板CDE繞點c逆時針方向轉動到某個位置，若恰好平分∠DCE，求∠BCD的度數；

（3）如圖③若∠DEC始終在∠ACB的內部，分別作射線CM平分∠BCD,射線CN平分∠ACE.如果三角板DCE在∠ACB內繞點C任意轉動，∠MCN的度數是否發生變化？如果不變，求出它的度數，如果變化，說明理由。

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）75°；（3）不變，60°

【解析】

（1）利用∠ACE=∠BCA-∠DCE進行計算；

（2）先由CA恰好平分∠DCE得到∠DCA=∠DCE=15°，然后根據∠BCD=∠BCA-∠DCA進行計算；

（3）先根據CM平分∠BCD，CN平分∠ACE得到∠ECN=∠ACE，∠DCM=∠BCD，則∠ECN+∠DCM=（∠BCA-∠DCE），所以∠MCN=∠ECN+∠DCM+∠DCE=（∠BCA+∠DCE），然后把∠BCA=90°，∠DCE=30°代入計算即可．

解：（1）∵∠BCA=90°，∠DCE=30°，

∴∠ACE=∠BCA-∠DCE=60°；

（2）∵CA恰好平分∠DCE，

∴∠DCA=∠DCE=×30°=15°，

∴∠BCD=∠BCA-∠DCA=90°-15°=75°；

（3）∠MCN的度數不發生變化，∠MCN=60°．理由如下：

∵CM平分∠BCD，CN平分∠ACE，

∴∠ECN=∠ACE，∠DCM=∠BCD，

∴∠ECN+∠DCM=（∠ACE+∠BCD）=（∠BCA-∠DCE），

∴∠MCN=∠ECN+∠DCM+∠DCE

=（∠BCA+∠DCE）=×（90°+30°）=60°．