Question

【題目】在△ABC中，點D是AB邊上一點（不與AB重合），AD=kBD，過點D作∠EDF+∠C=180°，與CA、CB分別交于E、F．
（1）如圖1，當DE=DF時，求的值．
（2）如圖2，若∠ACB=90°，∠B=30°，DE=m，求DF的長（用含k，m的式子表示）

Answer 1

【答案】解：（1）如圖1，連接CD，
∵∠EDF+∠C=180°，
∴D，E，C，F(xiàn)四點共圓，
∵DE=DF，
∴∠DCE=∠DCF，
根據(jù)正弦定理得 ①，
，
∴，②，
∵∠ADC=180°﹣∠BDC，
∴sin∠ADC=sin∠BDC，
①÷②d得，，
∵AD=kBD，
∴=k；
（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
根據(jù)正弦定理得： ③，，④，
由（1）知D，E，C，F(xiàn)四點共圓，
∴∠DEA+∠DFB=180°，
∴sin∠DEA=sin∠DFB，④÷③得：，
∴DF=，
∵AD=kBD，DE=m，
∴DF=．

【解析】（1）連接CD，由∠EDF+∠C=180°，推出D，E，C，F(xiàn)四點共圓，根據(jù)正弦定理得 ①， ， ②，①÷②得， ， 根據(jù)AD=kBD，根據(jù)得到結(jié)論；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠A=60°，根據(jù)正弦定理得： ③， ， ④，④÷③得： ， 求得DF= ， 即可得到結(jié)論．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．