Question

如圖，?ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA＞OB．
（1）求sin∠ABC的值；
（2）若E為x軸上的點，且S_△AOE=

16

3

，求經過D、E兩點的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO是否相似？
（3）若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F，使以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出F點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求得一元二次方程的兩個根后，判斷出OA、OB長度，根據勾股定理求得AB長，那么就能求得sin∠ABC的值．
（2）易得到點D的坐標為（6，4），還需求得點E的坐標，OA之間的距離是一定的，那么點E的坐標可能在點O的左邊，也有可能在點O的右邊．根據所給的面積可求得點E的坐標，把A、E代入一次函數解析式即可．然后看所求的兩個三角形的對應邊是否成比例，成比例就是相似三角形．
（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

解答：解：（1）解x²-7x+12=0，得x₁=4，x₂=3．
∵OA＞OB
∴OA=4，OB=3．
在Rt△AOB中，由勾股定理有AB=

OA2+OB2

=5，
∴sin∠ABC=

OA

AB

=

4

5

．

（2）∵點E在x軸上，S_△AOE=

16

3

，即

1

2

AO×OE=

16

3

，
解得OE=

8

3

．∴E（

8

3

，0）或E（-

8

3

，0）．
由已知可知D（6，4），設y_DE=kx+b，
當E（

8

3

，0）時有

4=6k+b 0= 8 3 k+b

，
解得

k= 6 5 b=- 16 5

．
∴y_DE=

6

5

x-

16

5

．
同理E（-

8

3

，0）時，y_DE=

6

13

x+

16

13

．
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=

8

3

；
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，OD=6；
∵

OE

OA

=

OA

OD

，
∴△AOE∽△DAO．

（3）根據計算的數據，OB=OC=3，
∴AO平分∠BAC，
①AC、AF是鄰邊，點F在射線AB上時，AF=AC=5，
所以點F與B重合，
即F（-3，0），
②AC、AF是鄰邊，點F在射線BA上時，M應在直線AD上，且FC垂直平分AM，
點F（3，8）．
③AC是對角線時，做AC垂直平分線L，AC解析式為y=-

4

3

x+4，直線L過（

3

2

，2），且k值為

3

4

（平面內互相垂直的兩條直線k值乘積為-1），
L解析式為y=

3

4

x+

7

8

，聯立直線L與直線AB求交點，
∴F（-

75

14

，-

22

7

），
④AF是對角線時，過C做AB垂線，垂足為N，根據等積法求出CN=

24

5

，勾股定理得出，AN=

7

5

，做A關于N的對稱點即為F，AF=

14

5

，過F做y軸垂線，垂足為G，FG=

14

5

×

3

5

=

42

25

，
∴F（-

42

25

，

44

25

）．
綜上所述，滿足條件的點有四個：F₁（3，8）；F₂（-3，0）；
F₃（-

75

14

，-

22

7

）；F₄（-

42

25

，

44

25

）．

點評：一個角的正弦值等于這個角的對邊與斜邊之比；相似三角形對應邊成比例；給定兩個點作為菱形的頂點，那么這兩個點可能是菱形的對角所在的頂點，也可能是鄰角所在的頂點．