Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（1，0），B（3，0），C（0，3）．

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；
（2）如圖甲，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交直線BC于點E，是否存在一點P，使線段PE的長最大？若存在，求出PE長的最大值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖乙，過點A作y軸的平行線，交直線BC于點F，連接DA、DB四邊形OAFC沿射線CB方向運動，速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，當點C與點B重合時立即停止運動，設運動過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積為S，請求出S與t的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線的解析式：y=﹣x2+4x﹣3，

∴由y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，可知：頂點D的坐標（2，1）．

（2）

解：存在．

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

則 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

設P（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），

∴PF=（﹣x2+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x2+3x=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴當x= 時，PE有最大值為 ．

∴存在一點P，使線段PE的長最大，最大值為 ．

（3）

解：∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直線AD的解析式為：y=x﹣1；

直線BC的解析式為：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．

∵AF∥y軸，

∴F（1，﹣2），

∴AF=2．

①當0≤t≤ 時，如答圖1﹣1所示．

此時四邊形AFF′A′為平行四邊形．

設A′F′與x軸交于點K，則AK= AA′= t．

∴S=SAFF′A′=AFAK=2× t= t；

②當 ＜t≤2 時，如答圖1﹣2所示．

設O′C′與AD交于點P，A′F′與BD交于點Q，

則四邊形PC′F′A′為平行四邊形，△A′DQ為等腰直角三角形．

∴S=SPC′F′A′﹣S△A′DQ=2×1﹣ （t﹣ ）2=﹣ t2+ t+1；

③當2 ＜t≤3 時，如答圖1﹣所示．

設O′C′與BD交于點Q，則△BC′Q為等腰直角三角形．

∵BC=3 ，CC′=t，

∴BC′=3 ﹣t．

∴S=S△BC′Q= （3 ﹣t）2= t2﹣3 t+9．

∴綜上所述，S與t的函數關系式為：

S=

【解析】（1）利用待定系數法即可求得拋物線的解析式，然后化為頂點式即可求得頂點的坐標．（2）先求得直線BC的解析式，設P（x，﹣x2+4x﹣3），則F（x，x﹣3），根據PF等于P點的縱坐標減去F點的縱坐標即可求得PF關于x的函數關系式，從而求得P的坐標和PF的最大值；（3）在運動過程中，分三種情形，需要分類討論，避免漏解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a．