Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（x+m）（x﹣4）（m＞0）交x軸于點A、B（A左B右），交y軸于點C，過點B的直線y=x+b交y軸于點D．

（1）求點D的坐標；

（2）把直線BD沿x軸翻折，交拋物線第二象限圖象上一點E，過點E作x軸垂線，垂足為點F，求AF的長；

（3）在（2）的條件下，點P為拋物線上一點，若四邊形BDEP為平行四邊形，求m的值及點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）D（0，﹣2）；（2）AF=1；（3）m=3，P（2，5）.

【解析】試題分析：（1）由點的直線上，點的坐標符合函數解析式，代入即可；
（2）先求出OB，OD再利用銳角三角函數求出BF=2EF，由它建立方程4-t=2×[-（t+m）（t-4）]，求解即可；
（3）先判斷出△PEQ≌△DBO，表示出點P（t+4，-（t+m）（t-4））+2），再利用它在拋物線y=-（t+m）（t-4）上求解．

試題解析：（1）∵拋物線y=-（x+m）（x-4）（m＞0）交x軸于點A、B（A左B右）

當y=0時，0=-（x+m）（x-4），

∴x1=-m，x2=4

∴A（-m，0），B（4，0）

∵點B在直線y=x+b上，

∴4×+b=0，b=-2

∴直線y=x-2，

當x=0時y=-2

∴D（0，-2），

（2）設E（t，-（t+m）（t-4）），

∵EF⊥x軸，

∴∠EFO=90° EF∥y軸，

∴F（t，0），

由（1）可知D（0，-2）B（4，0），

∴OD=2 OB=4，

∴在Rt△BDO中，tan∠DBO=，

∵直線BD沿x軸翻折得到BE，

∴∠DBO=∠EBF，

∴tan∠DBO=tan∠EBF，

∴tan∠EBF=，

∴，

∴BF=2EF，

∴EF=-（t+m）（t-4）BF=4-t

∴4-t=2×[-（t+m）（t-4）]

∴t+m=1，

∴AF=t-（-m）=t+m=1，

∴AF=1，

（3）如圖，

過點E作x軸的平行線，過點P作y軸的平行線交于點Q

設EP交y軸于點M

∵四邊形BDEP是平行四邊形

∴EP∥DB EP=DB

∵EP∥DB PQ∥y軸，

∴∠EMD=∠ODB∠EMD=∠EPQ，

∴∠ODB=∠EPQ，

∵∠PQE=∠DOB=90° EP=BD，

∴△PEQ≌△DBO，

∴PQ=OD=2 EQ=OB=4，

∵E（t，-（t+m）（t-4）），

∴P（t+4，-（t+m）（t-4）+2），

∵P（t+4，-（t+m）（t-4））+2）在拋物線 y=-（t+m）（t-4）上

∴-（t+4+m）（t+4-4）=-（t+m）（t-4）+2

∵t+m=1，

∴t=-2，

∵t+m=1，

∴m=3，

∴-（t+m）（t-4）+2=5，

∴P（2，5）