Question

【題目】如圖，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，點M從點D向點A以1個單位∕秒的速度運動，同時點N從點D向點C以2個單位∕秒的速度運動，連結BM、BN，當△BMN為等邊三角形時，＝_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接BD，證明△ABM≌△DBN，由此得到AM=DN，據此可求出運動時間為2秒，從而得到MD=2，DN=4．在△MDN中求出MN值，根據等邊△面積公式即可求解．

解：連接BD，如圖1所示：

若△BMN是等邊三角形，則BM=BN，∠MBN=60°．

∴∠DBN+∠MBD=60°．

∵四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，

∴AB=BD，∠ABD=60°．

∴∠ABM+∠MBD=60°，

∴∠ABM=∠DBN．

∴△ABM≌△DBN（SAS）．

∴AM=DN．

設運動時間為t，則6-t=2t，解得t=2．

所以DM=2，DN=4．

如圖2，過M點作MH⊥DN，交ND延長線于H點，

∵∠MDN=120°，

∴∠MDH=60°，

∴在Rt△MDH中，HD=MD=1，MH=．

在Rt△MHN中，利用勾股定理可得MN=．
∴等邊三角形的邊長為．

∴等邊三角形BMN的面積=．

故答案為：．