Question

（本題10分）如圖，已知A是⊙O上一點(diǎn)，半徑OC的延長(zhǎng)線與過(guò)點(diǎn)A的直線交于B點(diǎn)，OC=BC,AC=OB.
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）若∠ACD=45°,OC=2,求弦AD的長(zhǎng)。

Answer 1

（1）相切。理由略
（2）連接OD,由∠ACD=45°知∠AOD=90°,在Rt△AOD中，AD=

分析：
（1）利用題中的邊的關(guān)系可求出△OAC是正三角形，然后利用角邊關(guān)系又可求出∠CAB=30°，從而求出∠OAB=90°，所以判斷出直線AB與⊙O相切；
（2）作AE⊥CD于點(diǎn)E，由已知條件得出AC=2，再求出AE=CE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)就可以得到AD。
解答：
（1）直線AB是⊙O的切線，理由如下：連接OA。

∵OC=BC，AC=1/2OB，
∴OC=BC=AC=OA，
∴△ACO是等邊三角形，
∴∠O=∠OCA=60°，
又∵∠B=∠CAB，
∴∠B=30°，
∴∠OAB=90°．
∴AB是⊙O的切線。
（2）作AE⊥CD于點(diǎn)E，
∵∠O=60°，
∴∠D=30°．
∵∠ACD=45°，AC=OC=2，
∴在Rt△ACE中，CE=AE=/2
∵∠D=30°，
∴AD=
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定、直角三角形斜邊上的中線、等腰三角形的性質(zhì)以及圓周角定理，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握。