Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸交于A，B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于點C，已知點D（0，﹣ ）．

（1）求直線AC的解析式；
（2）如圖1，P為直線AC上方拋物線上的一動點，當△PBD面積最大時，過P作PQ⊥x軸于點Q，M為拋物線對稱軸上的一動點，過M作y軸的垂線，垂足為點N，連接PM，NQ，求PM+MN+NQ的最小值；
（3）在（2）問的條件下，將得到的△PBQ沿PB翻折得到△PBQ′，將△BPQ′沿直線BD平移，記平移中的△PBQ′為△P′B′Q″，在平移過程中，設直線P′B′與x軸交于點E．則是否存在這樣的點E，使得△B′EQ″為等腰三角形？若存在，求此時OE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=﹣ x2﹣ x+ 與x軸交于A，B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于點C，

∴A（﹣4，0），B（1，0），C（0， ），

設直線AC的解析式為y=kx+b，則有 ，

∴k= ，b= ，

∴直線AC的解析式為y= x+

（2）解：如圖1中，分別過D、B作x軸，y軸的平行線交于點K，連接PK．設P（m，﹣ m2﹣ m+ ）．

S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB

= 1（﹣ m2﹣ m+ + ）+ （1﹣m）﹣ 1

=﹣ （m+3）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴m=﹣3時，△PBD的面積最大，此時P（﹣3， ），Q（﹣3，0）．

如圖2中，作Q關于y軸的對稱點Q′，將Q′向左平移 個單位得到Q″，連接PQ″交拋物線對稱軸于M，此時PM+MN+NQ最短．

易證四邊形MNQ′Q″是平行四邊形，

∴NQ=NQ′=Q″M，

∴PM+MN+NQ=PM+MQ″+MN=PQ″+MN，

∵Q″（ ，0），

∴PQ″= = ，

∴PM+MN+NQ的最小值為 +

（3）解：如圖3中，

由（2）可知直線PB的解析式為y=﹣ x+ ，直線BD的解析式為y= x﹣ ，

易證∠PBQ=30°，∠DBO=60°，PB⊥BD．

①當點Q″與Q重合時，∵∠B′EQ=∠QB′E=30°，

∴EQ=B′Q″=4，

∴OE=QE+OQ=7．

②如圖4中，當B′E=B′Q″時作B′N⊥x軸于N．

∵B′E=B′Q″=4，∠B′EN=30°，

∴B′N= B′E=2，EN=2 ，

∴B′（ ，﹣2），

∴OE=2 + = ﹣1．

③如圖5中，當EQ″=EB′時，作B′N⊥x軸于N．

易知EP′=EQ″=EB′= ，B′N= ，EN=2，

∴B′（ ，﹣ ），

∴EO= ．

④如圖6中，當B′E=B′Q″時，

易知B′E=B′Q″=4，

在Rt△BEB′中，BE=EB′÷cos30°= ，

∴OE=OB+BE= +1，

綜上所述，滿足條件的OE的值為7或 ﹣1或 或 +1．

【解析】（2）利用函數思想解決最值問題，設出未知數，把△PDB分割成S△PDB=S△PDK+S△PBK﹣S△DKB，用m的代數式分別表示出三個三角形的面積，構建出函數，配成頂點時，求出最值；幾條線段的和PM+MN+NQ最小值問題可利用對稱法，把線段和轉化為一條直線上的線段即可；（3）等腰三角形的分類，可就哪兩條邊是腰分類：B′E=B′Q；或點Q″與Q重合；或B′E=B′Q″或EQ″=EB′或B′E=B′Q″即可求出OE的長.