Question

（本題10分）如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，△BCE沿BE折疊為△BFE，點F落在AD上。

（1）求證：△ABF∽△DFE；
（2）若△BEF∽△ABF，求CD∶BC的值。

Answer 1

（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
又∠ABF＝∠DFE，
∴△ABF∽△DFE
（2）∵AD∥BC，∴∠AFB=FBC，又∠FBE=∠CBE，由已知條件知△BEF∽△ABF，∴∠AFB=∠FEB，∴∠FEB=2∠FBE，又∠BFE=90°，∴∠FBE=30°，∴∠EBC=30°，∵△BFE≌△BCE，∴BF=BC，∵∠FBC=60°，∴△BCF為等邊三角形，另BC=x，∴CF=x，CD=，∴CD:BC=。

試題分析：（1）因為∠ABE+∠DEB=90°，又，所以，可推出，從而推出兩三角形相似。
（2）又內錯角相等，推出圖中四個三角形都為直角三角形且其中一個角為30°，又根據兩邊相等且頂角為60°的三角形為等邊三角形，從而可以化出CD與BC的關系式。
點評：利用相似三角形各組角相等，全等三角形各組邊相等，可以將題目簡單化，進而求出正確答案。