Question

【題目】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是對角線AC上一點，F是線段BC延長線上一點，且CF=AE，連接BE、EF．

（1）若E是線段AC的中點，如圖1，易證：BE=EF（不需證明）；
（2）若E是線段AC或AC延長線上的任意一點，其它條件不變，如圖2、圖3，線段BE、EF有怎樣的數量關系，直接寫出你的猜想；并選擇一種情況給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵E是線段AC的中點，

∴∠CBE= ∠ABC=30°，AE=CE，

∵AE=CF，

∴CE=CF，

∴∠F=∠CEF，

∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，

∴∠F=30°，

∴∠CBE=∠F，

∴BE=EF；

（2）證明：圖2：BE=EF．

圖3：BE=EF．

圖2證明如下：過點E作EG∥BC，交AB于點G，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等邊三角形

∴AG=AE，

∴BG=CE，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

又∵∠BGE=∠ECF=120°，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF；

圖3證明如下：過點E作EG∥BC交AB延長線于點G，

∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠ACB=60°，

又∵EG∥BC，

∴∠AGE=∠ABC=60°，

又∵∠BAC=60°，

∴△AGE是等邊三角形，

∴AG=AE，

∴BG=CE，

又∵CF=AE，

∴GE=CF，

又∵∠BGE=∠ECF=60°，

∴△BGE≌△ECF（SAS），

∴BE=EF．

【解析】（1）根據菱形的性質結合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，再根據等腰三角形三線合一的性質可得∠CBE=∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后由等邊對等角的性質可得∠F=∠CEF，根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠F=30°，從而得到∠CBE=∠F，根據等角對等邊的性質即可證明；（2）圖2，過點E作EG∥BC，構造全等三角形△BGE≌△ECF，由已知可得BG=CE，GE=CF，∠BGE=∠ECF=120°，可證明△BGE和△ECF 全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；圖3，證明思路與方法與圖2完全相同．
【考點精析】通過靈活運用菱形的性質，掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半即可以解答此題．