Question

（2011•恩施州）如圖，已知AB為⊙O的直徑，BD為⊙O的切線，過點B的弦BC⊥OD交⊙O于點C，垂足為M．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）當BC=BD，且BD=6cm時，求圖中陰影部分的面積（結果不取近似值）

Answer 1

（1）證明：連接OC

∵OD⊥BC，O為圓心，
∴OD平分BC．
∴DB=DC．
∴△OBD≌△OCD．（SSS）
∴∠OCD=∠OBD．
又∵AB為⊙O的直徑，BD為⊙O的切線，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）∵DB、DC為切線，B、C為切點，
∴DB=DC．
又DB=BC=6，
∴△BCD為等邊三角形．
∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣60°=120°，
∠OBM=90°﹣60°=30°，BM=3．
∴OM=，OB=2．
∴S_陰影部分=S_扇形OBC﹣S_△OBC
=﹣
=（cm²）．

略