Question

【題目】如圖所示，已知二次函數y=-x2+bx+c的圖像與x軸的交點為點A(3，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，連接AC.

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）在(1)中位于第一象限內的拋物線上是否存在點D，使得△ACD的面積最大?若存在，求出點D的坐標及△ACD面積的最大值，若不存在，請說明理由.

（3）在拋物線上是否存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形如果存在，請直接寫出點E的坐標即可；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）拋物線上存在點D，使得△ACD的面積最大，此時點D的坐標為( ， )且△ACD面積的最大值 ；（3）在拋物線上存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形

點E的坐標是(1，4)或(-2，-5).

【解析】

(1)因為點A(3，0)，點C(0,3)在拋物線y=x2+bx+c上，可代入確定b、c的值；

(2)過點D作DH⊥x軸，設D(t，-t2+2t+3)，先利用圖象上點的特征表示出S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC=，再利用頂點坐標求最值即可；

(3)分兩種情況討論：①過點A作AE1⊥AC，交拋物線于點E1，交y軸于點F，連接E1C，求出點F的坐標，再求直線AE的解析式為y＝x3，再與二次函數的解析式聯立方程組求解即可；②過點C作CE⊥CA，交拋物線于點E2、交x軸于點M，連接AE2，求出直線CM的解析式為y＝x＋3，再與二次函數的解析式聯立方程組求解即可.

（1）解：∵二次函數y=-x2+bx+c與x軸的交點為點A(3，0)與y軸交于點C(0，3)

∴

解之得

∴這個二次函數的解析式為y=-x2+2x+3

（2）解：如圖，設D(t，-t2+2t+3)，過點D作DH⊥x軸，垂足為H，

則S△ACD=S梯形OCDH+S△AHD-S△AOC

= (-t2+2t+3+3)+ (3-t)(-t2+2t+3)- ×3×3

=

=

∵ <0

∴當t= 時，△ACD的面積有最大值

此時-t2+2t+3=

∴拋物線上存在點D，使得△ACD的面積最大，此時點D的坐標為( ， )且△ACD面積的最大值

（3）在拋物線上存在點E，使得△ACE是以AC為直角邊的直角三角形

點E的坐標是(1，4)或(-2，-5).

理由如下：有兩種情況：

①如圖，

過點A作AE1⊥AC，交拋物線于點E1、交y軸于點F，連接E1C．

∵CO＝AO＝3，

∴∠CAO＝45°，

∴∠FAO＝45°，AO＝OF＝3．

∴點F的坐標為（0，3）．

設直線AE的解析式為y＝kx＋b，

將（0，3），（3，0）代入y＝kx＋b得：

解得

∴直線AE的解析式為y＝x3，

由

解得或

∴點E1的坐標為（2，5）．

②如圖，

過點C作CE⊥CA，交拋物線于點E2、交x軸于點M，連接AE2 ．

∵∠CAO＝45°，

∴∠CMA＝45°，OM＝OC＝3．

∴點M的坐標為（3，0）,

設直線CM的解析式為y＝kx＋b，

將（0，3），（-3，0）代入y＝kx＋b得：

解得

∴直線CM的解析式為y＝x＋3．

由

解得：或

∴點E2的坐標為（1，4）．

綜上，在拋物線上存在點E1（2，5）、E2（1，4），使△ACE1、△ACE2是以AC為直角邊的直角三角形．