Question

【題目】材料1：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．例如：，都是因式分解．因式分解也可稱為分解因式．

材料2：只含有一個未知數，且未知數的最高次數是的整式方程稱作一元二次方程．一元二次方程的般形式是：（其中，，為常數且）．“轉化”是一種重要的數學思想方法，我們可以利用因式分解把部分一元二次方程轉化為一元一次方程求解．

例如解方程；

或

原方程的解是，

∴原方程的解是，

又如解方程：

原方程的解是

請閱讀以上材料回答以下問題：

（1）若，則_______；_______；

（2）請將下列多項式因式分解：

_______，________；

（3）在平面直角坐標系中，已知點，，其中是一元二次方程的解，為任意實數，求長度的最小值．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）.

【解析】

（1）等式右邊展開整理，根據多項式相等，對應項的系數也相等即可求得m，n；

（2）分別用提公因式法和公式法分別因式分解即可；

（3）先通過因式分解法求得方程的解，得到m的值，從而得到的坐標，再利用平面上兩點間的距離公式得到PQ長度的表達式，從而得到PQ的最小值.

解：（1）∵

∴，

解得：；

∴，.

（2），；

（3）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

根據平面上兩點間的距離公式有：

∴

故當n=8時，長度有最小值為