Question

（2013•南通二模）如圖，已知在Rt△ABC中，AB=AC=2，在△ABC內作第一個內接正方形DEFG；然后取GF的中點P，連接PD、PE，在△PDE內作第二個內接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點Q，在△QHI內作第三個內接正方形…依次進行下去，則第n個內接正方形的邊長為（　�。�

• A．

  2

  3

  ?(

  1

  2

  )n-1
• B．

  2 2

  3

  ?(

  1

  2

  )n-1
• C．

  2

  3

  ?(

  1

  2

  )n
• D．

  2 2

  3

  ?(

  1

  2

  )n

Answer 1

分析：首先根據勾股定理得出BC的長，進而利用等腰直角三角形的性質得出DE的長，再利用銳角三角函數的關系得出

EI

KI

=

PF

EF

=

1

2

，即可得出正方形邊長之間的變化規律，得出答案即可．

解答：解：∵在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°，BC=

22+22

=2

2

，
∵在△ABC內作第一個內接正方形DEFG；
∴EF=EC=DG=BD，
∴DE=

1

3

BC，
∴DE=

2 2

3

，
∵取GF的中點P，連接PD、PE，在△PDE內作第二個內接正方形HIKJ；再取線段KJ的中點Q，在△QHI內作第三個內接正方形…依次進行下去，
∴

EI

KI

=

PF

EF

=

1

2

，
∴HI=

1

2

DE=（

1

2

）^2-1×

2 2

3

，
則第n個內接正方形的邊長為：

2 2

3

×（

1

2

）^n-1．
故選：B．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及數字變化規律和勾股定理等知識，根據已知得出正方形邊長的變化規律是解題關鍵．