Question

在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E，F．則下面結論中正確的有

①②③④

 
①DA平分∠EDF；②AE=AF，DE=DF；③DB=DC；④圖中共有3對全等三角形．

Answer 1

分析：①由AD是△ABC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，根據余角的性質，即可證得DA平分∠EDF；
②由在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，根據角平分線的性質，即可得AE=AF，DE=DF；
③由等腰三角形的性質，即可證得DB=DC；
④由全等三角形的判定方法，即可證得圖中共有3對全等三角形．

解答：解：①∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分線，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠ADE=90°-∠BAD，∠ADF=90°-∠CAD，
∴∠ADE=∠ADF，
∴DA平分∠EDF．正確；
②∵AD是△ABC的平分線，DA平分∠EDF，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AE=AF，DE=DF．故正確；
③∵在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的平分線，
∴DB=DC．正確；
④在△ABD和△ACD中，

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；
在△ADE和△ADF中，

AE=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△ADE≌△ADF（SAS）；
在Rt△BED和Rt△CDF中，

DB=DC DE=DF

，
∴Rt△BED≌Rt△CDF（HL）；
∴圖中共有3對全等三角形，正確．
故答案為：①②③④．

點評：此題考查了角平分線的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．