Question

【題目】如圖，在□ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E在BD的延長線上，且△EAC是等邊三角形．

（1）求證：四邊形ABCD是菱形．

（2）若AC=8，AB=5，求ED的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）4-3

【解析】試題分析:(1)根據等邊三角形的性質,可得EO⊥AC,即BD⊥AC,根據平行四邊形的對角線互相垂直可證菱形,(2) 根據平行四邊形的對角線互相平分可得AO=CO,BO=DO,再根據△EAC是等邊三角形可以判定EO⊥AC,并求出EA的長度,然后在Rt△ABO中,利用勾股定理列式求出BO的長度,即DO的長度,在Rt△AOE中,根據勾股定理列式求出EO的長度,再根據ED=EO-DO計算即可得解．

試題解析:(1) ∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO,DO=BO,

∵△EAC是等邊三角形, EO是AC邊上中線,

∴EO⊥AC,即BD⊥AC,

∴平行四邊形ABCD是是菱形.

(2) ∵平行四邊形ABCD是是菱形,

∴AO=CO==4,DO=BO,

∵△EAC是等邊三角形,∴EA=AC=8,EO⊥AC,

在Rt△ABO中,由勾股定理可得:BO=3,

∴DO=BO=3,

在Rt△EAO中,由勾股定理可得:EO=4

∴ED=EO-DO=4-3.