Question

問題：你能比較兩個數(shù)2012²⁰¹³與2013²⁰¹²的大小嗎為了解決這個問題，我們先把它抽象成這樣的問題：寫成它的一般形式，即比較nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（即是自然數(shù)）．然后，我們分析n=1，n=2，n=3…這些簡單情形入手，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過歸納，才想出結(jié)論．
（1）通過計算，比較下列各組中兩個數(shù)的大小
①1²

＜

2¹  ②2³

＜

3²    ③3⁴

＞

4³    ④4⁵

＞

5⁴
⑤5⁶

＞

6⁵  ⑥6⁷

＞

7⁶
（2）從第（1）題的結(jié)果經(jīng)過歸納，可以猜想nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小關(guān)系；
（3）根據(jù)下面歸納猜想得到的一般結(jié)論，試比較下列兩個數(shù)的大小：2012²⁰¹³

＞

2013²⁰¹²．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)有理數(shù)的乘方分別計算即可比較出大小；
（2）根據(jù)n的取值范圍討論解答；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論判斷出大小．

解答：解：（1）①∵1²=1，2¹=2，
∴1²＜2¹；
②∵2³=8，3²=9，
∴2³＜3²；
③∵3⁴=81，4³=64，
∴3⁴＞4³；
④∵4⁵=1024，5⁴=625，
∴4⁵＞5⁴；
⑤∵5⁶=15625，6⁵=7776，
∴5⁶＞6⁵；
⑥∵6⁷=279936，7⁶=117649，
∴6⁷＞7⁶；

（2）n＜3時，nⁿ⁺¹＜（n+1）ⁿ，
n≥3時，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；

（3）∵2012＞3，
∴2012²⁰¹³＞2013²⁰¹²．
故答案為：（1）＜、＜、＞、＞、＞、＞；（3）＞．

點(diǎn)評：本題考查了有理數(shù)的乘方，有理數(shù)的大小比較，熟記乘方的概念并準(zhǔn)確計算是解題的關(guān)鍵．