Question

【題目】（1）如圖1，已知△ABC，BF平分外角∠CBP，CF平分外角∠BCQ．試確定∠A和∠F的數量關系；

（2）如圖2，已知△ABC，BF和BD三等分外角∠CBP，CF和CE三等分外角∠BCQ．試確定∠A和∠F的數量關系；

（3）如圖3，已知△ABC，BF、BD和BM四等分外角∠CBP，CF、CE和CN四等分外角∠BCQ．試確定∠A和∠F的數量關系；

（4）如圖4，已知△ABC，將外角∠CBP進行n等分，BF是臨近BC邊的等分線，將外角∠BCQ進行n等分，CF是臨近BC邊的等分線，試確定∠A和∠F的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）∠F=90°-∠A，理由見解析；（2）∠F=120°-∠A，理由見解析；（3） ∠F=135°-∠A，理由見解析；（4）∠F= -∠A，理由見解析.

【解析】

（1）利用三角形的外角的性質，角平分線的定義即可解決問題．

（2）利用三角形的外角的性質，三等分角的定義即可解決問題．

（3）利用三角形的外角的性質，四等分角的定義即可解決問題．

（4）利用三角形的外角的性質，n等分角的定義即可解決問題．

（1）由已知得∠CBF=∠CBP，∠BCF=∠BCQ，

∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCQ＝∠A+∠ABC，

∴∠CBF+∠BCF=(∠A+∠ACB+∠A+ABC)=(∠A+1800)，

∠F=1800-(∠CBF+∠BCF)=1800-(∠A+1800)= 90°-∠A；

（2）由已知得∠CBF=∠CBP，∠BCF=∠BCQ，

∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCQ＝∠A+∠ABC，

∴∠CBF+∠BCF=(∠A+∠ACB+∠A+ABC)=(∠A+1800)，

∠F=1800-(∠CBF+∠BCF)=1800-(∠A+1800)= 120°-∠A；

（3）由已知得∠CBF=∠CBP，∠BCF=∠BCQ，

∵∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCQ＝∠A+∠ABC，

∴∠CBF+∠BCF=(∠A+∠ACB+∠A+ABC)=(∠A+1800)，

∠F=1800-(∠CBF+∠BCF)=1800-(∠A+1800)= 135°-∠A；

（4）由已知得∠CBF=∠CBP，∠BCF=∠BCQ，

∴∠CBP＝∠A+∠ACB，∠BCQ＝∠A+∠ABC，

∴∠CBF+∠BCF=(∠A+∠ACB+∠A+ABC)=(∠A+1800)，

∠F=1800-(∠CBF+∠BCF)=1800-(∠A+1800)=180°-∠A．