Question

【題目】.現有 a 根長度相同的火柴棒，按如圖 1 擺放時可擺成 m 個正方形，按如圖 2擺放時可擺成 2n 個正方形．

（1）試分別用含 m，n 的代數式表示 a；

（2）若這 a 根火柴棒按如圖 3 擺放時還可擺成 3p 個正方形．

①試問 p 的值能取 8 嗎？請說明理由．

②試求 a 的最小值．

Answer 1

【答案】（1）a=3m+1，a=5n+2；（2）①a=3m+1，a=5n+2；②52.

【解析】

（1）觀察圖1發現，擺成1個正方形需要4根火柴棒，以后每多擺放1個正方形增加3根火柴棒，由此得出擺成m個正方形需要（3m+1）根火柴棒，即a=3m+1；同理得出用含n的代數式表示a的式子；
（2）①首先觀察圖3，得出用含p的代數式表示a的式子，把p=8代入求出a的值，再根據火柴棒的總數相同求出m、n即可判斷；
②根據火柴棒的總數相同得出a=3m+1=5n+2=7p+3，求出最小正整數解，從而得到a的最小值．

解：（1）圖 1 中火柴棒的總數是（3m+1）根，圖 2 中火柴棒的總數是（5n+2）根，所以 a=3m+1，a=5n+2；

（2）∵圖 3 中有 3p 個正方形，

∴火柴棒的總數是（7p+3）根．

①當 p=8 時，a=7×8+3=59，

如果3m+1=59，解得 m= ，

如果5n+2=59，解得 n= ，

m、n 的值都不是整數，不合題意， 所以 p 的值不能取 8；

②由題意得 a=3m+1=5n+2=7p+3，所以 p== ．

∵m，n，p 均是正整數，

∴m=17，n=10，p=7 時 a 的值最小，a=3×17+1=5×10+2=7×7+3=52．