Question

（2012•泰興市一模）如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB邊上有一動點P（不與A、B重合），連接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點E，設AP=x．
（1）當x為何值時，△APD是等腰三角形；
（2）若設BE=y，求y關于x的函數關系式；
（3）若BC的長可以變化，是否存在點P，使得PQ經過點C？若不存在，請說明理由，若存在并直接寫出當BC的長在什么范圍內時，可以存在這樣的點P，使得PQ經過點C．

Answer 1

【答案】分析：1、過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP為等腰三角形，則分三種情況：①當AP=AD時，x=AP=AD，②當AD=PD時，有AH=PH，故x=AH+PH，③當AP=PD時，則在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
2、易證：△DPH∽△PEB?，即，故可求得y與x的關系式．
3、利用△DPH∽△PEB，得出=，進而利用根的判別式和一元二次不等式解集得出即可．
解答：解：（1）過D點作DH⊥AB于H，則四邊形DHBC為矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6．
∴AH=2，AD=2．
∵AP=x，
∴PH=x-2，
情況①：當AP=AD時，即x=2．
情況②：當AD=PD時，則AH=PH．
∴2=x-2，解得x=4．
情況③：當AP=PD時，
則Rt△DPH中，x²=4²+（x-2）²，解得x=5．
∵2＜x＜8，
∴當x為2、4、5時，△APD是等腰三角形．

（2）∵∠DPE=∠DHP=90°，
∴∠DPH+∠EPB=∠DPH+∠HDP=90°．
∴∠HDP=∠EPB．
又∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，
∴．
整理得：y=（x-2）（8-x）=-x²+x-4．

（3）存在．
設BC=a，則由（2）得△DPH∽△PEB，
∴=，
∴y=，
當y=a時，
（8-x）（x-2）=a²
x²-10x+（16+a²）=0，
∴△=100-4（16+a²），
∵△≥0，
∴100-64-4a²≥0，
4a²≤36，
又∵a＞0，
∴a≤3，
∴0＜a≤3，
∴滿足0＜BC≤3時，存在點P，使得PQ經過C．
點評：本題利用了梯形和矩形的性質，等腰三角形的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，一元二次方程的根的判別式求解．