Question

數(shù)形結(jié)合的基本思想，就是在研究問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．
例如，求1+2+3+4+…+n的值，其中n是正整數(shù)．
對于這個求和問題，如果采用純代數(shù)的方法（首尾兩頭加），問題雖然可以解決，但在求和過程中，需對n的奇偶性進行討論．
如果采用數(shù)形結(jié)合的方法，即用圖形的性質(zhì)來說明數(shù)量關(guān)系的事實，那就非常的直觀．現(xiàn)利用圖形的性質(zhì)來求1+2+3+4+…+n的值，方案如下：如圖，斜線左邊的三角形圖案是由上到下每層依次分別為1，2，3，…，n個小圓圈排列組成的．而組成整個三角形小圓圈的個數(shù)恰為所求式子1+2+3+4+…+n的值．為求式子的值，現(xiàn)把左邊三角形倒放于斜線右邊，與原三角形組成一個平行四邊形．此時，組成平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有（n+1）個小圓圈，所以組成平行四邊形小圓圈的總個數(shù)為n（n+1）個，因此，組成一個三角形小圓圈的個數(shù)為

n(n+1)

2

，即1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

．
（1）仿照上述數(shù)形結(jié)合的思想方法，設(shè)計相關(guān)圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù)．（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）
（2）試設(shè)計另外一種圖形，求1+3+5+7+…+（2n-1）的值，其中n是正整數(shù)．（要求：畫出圖形，并利用圖形做必要的推理說明）

Answer 1

分析：根據(jù)例題所示選擇合適的圖形來解決問題，對于題目中所給的奇數(shù)相加的公式，我們不難發(fā)現(xiàn)它的遞增也是有規(guī)律的，所以我們?nèi)钥梢詤⒄绽�子作出相�?yīng)的圖形利用平行四邊形法求解；另外我們可以發(fā)現(xiàn)公式的增值是2，我們可以看做是在原點的基礎(chǔ)上伸出兩個端點依次加2，然后這n個圖形相組合，可以得到多個答案，選擇你認(rèn)為最為簡單的圖形進行解答．

解答：解：（1）

因為組成此平行四邊形的小圓圈共有n行，每行有[（2n-1）+1]個，即2n個，
所以組成此平行四邊形的小圓圈共有（n×2n）個，即2n²個．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=

n[(2n-1)+1]

2

=n²．

（2）

因為組成此正方形的小圓圈共有n行，每行有n個，所以共有（n×n）個，即n²個．
∴1+3+5+7+…+（2n-1）=n×n=n²．

點評：把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案．