Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M是線段BC上的點(diǎn)（不與B，C重合），過(guò)M作NM∥y軸交拋物線于N，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示MN的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，連接NB，NC，是否存在點(diǎn)M，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則：

a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

（2）解：設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

，

解得 ；

故直線BC的解析式：y=﹣x+3．

已知點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，MN∥y，則M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．

（3）解：如圖：

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN（OD+DB）= MNOB，

∴S△BNC= （﹣m2+3m）3=﹣ （m﹣ ）2+ （0＜m＜3）；

∴當(dāng)m= 時(shí)，△BNC的面積最大，最大值為 ．

【解析】（1）把ABC 坐標(biāo)代入解析式即可;（2）豎直線段長(zhǎng)等于上縱減下縱，須求BC的解析式；（3）斜三角形（沒(méi)有豎直或水平邊）的面積可通過(guò)做豎直線分割轉(zhuǎn)化為豎直三角形（有一條邊豎直邊），即S△BNC=S△MNC+S△MNB，構(gòu)建函數(shù)即可解決.