Question

用兩個全等的等邊△ABC和△ADC，在平面上拼成菱形ABCD，把一個含60°角的三角尺與這個菱形重合，使三角尺有兩邊分別在AB、AC上，將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉
（1）如圖1，當三角尺的兩邊與BC、CD分別相交于點E、F時，觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論？證明你的結論．
（2）如圖2，當三角尺的兩邊與BC、CD的延長線分別交于E、F時，你在（1）中的結論還成立嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形性質推出AD=AC，∠D=∠ACB=60°，∠DAC=60°，求出∠CAE=∠DAF，證△ACE≌△ADF即可；
（2）連接AC，求出∠ADF=∠ACE=120°，證△ACE≌△ADF，推出DF=CE，根據BC=CD即可推出答案．

解答：（1）BE=CF，
證明：
∵△ADC、△ABC是等邊三角形，
∴AD=AC，∠D=∠ACB=60°，∠DAC=60°，
∵∠FAE=60°，
∴∠EAC+∠CAF=∠CAF+∠DAF，
∴∠CAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中

∠D=∠ACB AD=AC ∠DAF=∠CAE

，
∴△ACE≌△ADF，
∴CE=DF，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=CD，
∴BE=CF．

（2）解：結論BE=CF仍成立，
理由是：連接AC，
由（1）知：AD=AC，∠FAD=∠CAE，
∵等邊三角形ABC和等邊三角形ACD，
∴∠ADC=∠ACB=60°，
∴∠ADF=∠ACE=120°，
在△ACE和△ADF中

∠FAD=∠EAC AD=AC ∠ACE=∠ADF

，
∴△ACE≌△ADF，
∴DF=CE，
∵CD=BC，
∴BE=CF，
即結論BE=CF仍成立．

點評：本題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的性質和判定的應用，主要考查學生熟練地運用性質進行推理的能力，題目比較典型，但有一定的難度．