Question

用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，如果使三角尺60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合，將三角尺繞A點按逆時針方向旋轉．
（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時，通過觀察或測量BE、CF的長度，你能得出什么結論？證明你的結論．
（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時，你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由．
（3）在（1）的圖形中證明四邊形AECF的面積等于菱形ABCD的面積的一半．

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定得出△ABE≌△ACF即可得出答案；
（2）根據已知可以得出∠BAE=∠CAF，進而求出△ABE≌△ACF即可；
（3）利用四邊形AECF的面積S=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC求出即可．

解答：解：（1）得出結論是：BE=CF，
證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，
即：∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
∴

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，

（2）還成立，
證明：∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAC+∠EAC=∠EAF+∠EAC，
即∠BAE=∠CAF，
又∵AB=AC，∠ABE=∠ACF=60°，
即

∠BAE=∠CAF AB=AC ∠ABE=∠ACF

，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，

（3）證明：∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ABE=S_△ACF，
∴四邊形AECF的面積S=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC；
而S_△ABC=

1

2

S_菱形ABCD，
∴S=

1

2

S_菱形ABCD．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及四邊形面積，熟練利用全等三角形判定求出是解題關鍵．