Question

如圖，已知點C是以AB為直徑的⊙O上一點，CH⊥AB于點H，過點B作⊙O 的切線交直線AC于點D，點E為CH的中點，連結并延交BD于點F，直線CF交AB的延長線于G.
⑴求證：AE·FD=AF·EC；
⑵求證：FC=FB；
⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半徑r的長.

Answer 1

（1）證明：∵BD是⊙O的切線，∴∠DBA=90°。
∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。
∴。∴AE•FD=AF•EC。
（2）證明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴。
∵CE=EH（E為CH中點），∴BF=DF。
∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。
（3）解：∵BF=CF=DF（已證），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。
∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。
∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。
∵FB⊥AG，∴AB=BG。
連接OC，BC，

∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。
∵OC=OA，CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC
∴∠FCB=∠CAB。
∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。
∴CG是⊙O切線。
∵GBA是⊙O割線，FB=FE=2，由切割線定理得：（2+FG）²=BG×AG=2BG²，
【注，沒學切割線定理的可由△AGC∽△CGB求得】
在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG²=FG²﹣BF²，∴FG²﹣4FG﹣12=0。
解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。
由勾股定理得：AB=BG=。
∴⊙O的半徑r是。

（1）由BD是⊙O的切線得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，證△AEC∽△AFD，得出比例式即可。
（2）證△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根據直角三角形斜邊上中線性質得出CF=DF=BF即可。
（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，連接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切線，由切割線定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）²=BG×AG=2BG²，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG²=FG²﹣BF²，推出FG²﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，從而由勾股定理求得AB=BG
的長，從而得到⊙O的半徑r。