Question

【題目】如圖，點P是線段AB上的一個點，分別以AP，PB為邊在AB的同側作菱形APCD和菱形PBFE，點P，C，E在一條直線上，點M，N分別是對角線AC，BE的中點，連接MN，PM，PN，若∠DAP＝60°，AP2+3PB2＝2，則線段MN的長為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

連接PM、PN，△MPN是直角三角形，由勾股定理可得MN2＝PM2+PN2，在在Rt△APM中，AP＝2PM，在Rt△PNB中，PB＝PN，代入已知的AP2+3PB2＝2，即可．

連接PM、PN．

∵菱形APCD和菱形PBFE，∠DAP＝60°，M，N分別是對角線AC，BE的中點，

∴PM⊥AC，PN⊥BE，∠CAB＝∠NPB＝30°．

∴∠MPC+∠NPC＝90°，即△MPN是直角三角形．

在Rt△APM中，AP＝2PM，

在Rt△PNB中，PB＝PN．

∵AP2+3PB2＝1，

∴（2PM）2+3（PN）2＝2，

整理得PM2+PN2＝

在Rt△MPN中，MN2＝PM2+PN2，

所以MN＝．

故答案為：．