Question

如圖1所示，已知拋物線y=﹣x²+4x+5的頂點為D，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，E為對稱軸上的一點，連接CE，將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點C的對應點C′恰好落在y軸上．

（1）直接寫出D點和E點的坐標；

（2）點F為直線C′E與已知拋物線的一個交點，點H是拋物線上C與F之間的一個動點，若過點H作直線HG與y軸平行，且與直線C′E交于點G，設點H的橫坐標為m（0＜m＜4），那么當m為何值時，S_△HGF：S_△BGF=5：6？

（3）圖2所示的拋物線是由y=﹣x²+4x+5向右平移1個單位后得到的，點T（5，y）在拋物線上，點P是拋物線上O與T之間的任意一點，在線段OT上是否存在一點Q，使△PQT是等腰直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）∵拋物線y=﹣x²+4x+5=﹣（x﹣2）²+9

∴D點的坐標是（2，9）；

∵E為對稱軸上的一點，

∴點E的橫坐標是：﹣=2，

設點E的坐標是（2，m），點C′的坐標是（0，n），

∵將線段CE繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°后，點C的對應點C′恰好落在y軸上，

∴△CEC′是等腰直角三角形，

∴

解得或（舍去），

∴點E的坐標是（2，3），點C′的坐標是（0，1）．

綜上，可得D點的坐標是（2，9），點E的坐標是（2，3）．

（2）如圖1所示：

令拋物線y=﹣x²+4x+5的y=0得：x²﹣4x﹣5=0，

解得：x₁=﹣1，x₂=5，

所以點A（﹣1，0），B（5，0）．

設直線C′E的解析式是y=kx+b，將E（2，3），C′（0，1），代入得，

解得：，

∴直線C′E的解析式為y=x+1，

將y=x+1與y=﹣x²+4x+5，聯(lián)立得：，

解得：，，

∴點F得坐標為（4，5），點A（﹣1，0）在直線C′E上．

∵直線C′E的解析式為y=x+1，

∴∠FAB=45°．

過點B、H分別作BN⊥AF、HM⊥AF，垂足分別為N、M．

∴∠HMN=90°，∠ADN=90°．

又∵∠NAD=∠HNM=45°．

∴△HGM∽△ABN

∴，

∵S_△HGF：S_△BGF=5：6，

∴．

∴，即，

∴HG=5．

設點H的橫坐標為m，則點H的縱坐標為﹣m²+4m+5，則點G的坐標為（m，m+1），

∴﹣m²+4m+5﹣（m+1）=5．

解得：m₁=，m₂=．

（3）由平移的規(guī)律可知：平移后拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+4（x﹣1）+5=﹣x²+6x．

將x=5代入y=﹣x²+6x得：y=5，

∴點T的坐標為（5，5）．

設直線OT的解析式為y=kx，將x=5，y=5代入得；k=1，

∴直線OT的解析式為y=x，

①如圖2所示：當PT∥x軸時，△PTQ為等腰直角三角形，

將y=5代入拋物線y=﹣x²+6x得：x²﹣6x+5=0，

解得：x₁=1，x₂=5．

∴點P的坐標為（1，5）．

將x=1代入y=x得：y=1，

∴點Q的坐標為（1，1）．

②如圖3所示：

由①可知：點P的坐標為（1，5）．

∵△PTQ為等腰直角三角形，

∴點Q的橫坐標為3，

將x=3代入y=x得；y=3，

∴點Q得坐標為（3，3）．

③如圖4所示：

設直線PT解析式為y=kx+b，

∵直線PT⊥QT，

∴k=﹣1．

將k=﹣1，x=5，y=5代入y=kx+b得：b=10，

∴直線PT的解析式為y=﹣x+10．

將y=﹣x+10與y=﹣x²+6x聯(lián)立得：x₁=2，x₂=5

∴點P的橫坐標為2．

將x=2代入y=x得，y=2，

∴點Q的坐標為（2，2）．

綜上所述：點Q的坐標為（1，1）或（3，3）或（2，2）．