Question

【題目】如圖，在中，，CD是中線，，一個以點D為頂點的角繞點D旋轉(zhuǎn)，使角的兩邊分別與AC、BC的延長線相交，交點分別為點E，F，DF與AC交于點M，DE與BC交于點N．

如圖1，若，求證：；

如圖2，在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中：

探究三條線段AB，CE，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

若，，求DN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），理由見解析；②

【解析】分析：（1）根據(jù)已知不難得到△ABC是等腰直角三角形，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，不難推出△DCE≌△DCF；

（2）①首先利用角的關(guān)系推理可得到∠F=∠CDE，結(jié)合圖形可得到△CDF∽△CED，再根據(jù)相似的性質(zhì)，以及線段的等量代換，即可得解；②過點D作DG⊥BC于G，則∠DGN=∠ECN=90°，CG=DG，結(jié)合①中的結(jié)論可得到CD的長，再利用三角函數(shù)得到CG和DG的長，接下來通過證明△CEN∽△GDN，可求出GN的長，最后利用勾股定理即可得解.

詳解：證明：，，，

，，

，

在與中，，

≌，

；

解：，

，

，

，

∽，

，

即，

，，，

，

；

如圖，過D作于G，

則，，

當，時，

由得，

在中，，

，，

∽，

，

，

．