Question

已知等腰△ABC內接于半徑為5厘米的⊙O，且BC=8厘米，則△ABC的面積等于

 

平方厘米．

Answer 1

分析：先過A作AD⊥BC于D，連接OB、OC，由于AB=AC，AD⊥BC，那么BD=CD，于是AD是BC的垂直平分線，又OB=OC，易證O在AD上，在Rt△OCD中，利用勾股定理可求OD，從而可求AD，進而可求△ABC的面積．

解答：解：①如右圖所示，△ABC內接于⊙O，且AB=AC，且BC=8，
過A作AD⊥BC于D，連接OB、OC，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∴AD是BC的垂直平分線，
又∵OB=OC，
∴點O在BC垂直平分線上，
即點O在AD上，
在Rt△OCD中，OD=

OC2-CD2

=3，
∴AD=3+5=8，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AD=32．

②O在△ABC外時，連接OB、OA交BC于D，
由①知BD=4，AD⊥BC，
由勾股定理得：OB²=OD²+BD²，
∴5²=（5-AD）²+4²，
解得：AD=2，AD=8＞5（舍去），
∴S_△ABC=

1

2

BC×AD=

1

2

×8×2=8，
故答案是32或8．

點評：本題考查了垂徑定理、勾股定理、等腰三角形三線合一定理、垂直平分線定理及性質．解題的關鍵是證明O在AD上．