Question

【題目】矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為m、4m，D為AB的中點，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、點D．

（1）當m＝1時，求拋物線y＝﹣x2+bx+c的函數關系式；

（2）延長BC至點E，連接OE，若OD平分∠AOE，拋物線與線段CE相交，求拋物線的頂點P到達最高位置時的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+1；（2）此時拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標為（，）．

【解析】

(1)由m＝1，得：點A（0，1），點C（4，0），點B（4，1），點D（2，1），根據待定系數法，即可得到答案；

(2)由待定系數法得：拋物線的解析式為y＝﹣x2+2mx+m，過點D作DA'⊥OE，交x軸于點Q，過點A′作A′N⊥x軸于點N，連接AA'，求出A′點坐標為（m，﹣m），進而得到：直線OA′的解析式為：y＝﹣x，從而得到點E的坐標和拋物線l與直線CE的交點坐標，根據拋物線l與線段CE相交，求出≤m≤，進而求出拋物線頂點P到達最高位置時的坐標.

（1）如圖1，

∵m＝1，

∴點A（0，1），點C（4，0），點B（4，1），

∵D為AB的中點，

∴點D（2，1）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、點D，

∴，解得：

∴拋物線解析式為：y＝﹣x2+2x+1；

（2）∵點A（0，m），點C（4m，0），點B（4m，m），

∵D為AB的中點，

∴點D（2m，m）

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、點D，

∴，解得：，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2mx+m，

如圖2，過點D作DA'⊥OE，交x軸于點Q，過點A′作A′N⊥x軸于點N，連接AA'，

∵OD平分∠AOE，

∴∠AOD＝∠A'OD，

又∵∠OAD＝∠OA′D＝90°，OD＝OD，

∴△AOD≌△A'OD（AAS）

∴OA＝OA′＝m，AD＝A′D＝2m，∠ADO＝∠A′DO，

∵矩形OABC中，AD∥OC，

∴∠ADO＝∠DOQ，

∴∠A′DO＝∠DOQ，

∴DQ＝OQ．

設DQ＝OQ＝x，則A′Q＝2m﹣x，

在Rt△OA′Q中，∵OA′2+A′Q2＝OQ2，

∴m2+（2m﹣x）2＝x2，

解得：x＝m．

∵S△OA′Q＝OQA′N＝OA′A′Q，

∴A′N＝，

∴ON＝，

∴A′點坐標為（m，﹣m），

∴直線OA′的解析式為：y＝﹣x，

當x＝4m時，y＝﹣×4m＝﹣3m，

∴E點坐標為（4m，﹣3m）．

當x＝4m時，﹣x2+2mx+m＝﹣（4m）2+2m4m+m＝﹣8m2+m，

即拋物線l與直線CE的交點坐標為：（4m，﹣8m2+m），

∵拋物線l與線段CE相交，

∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，

∵m＞0，

∴﹣3≤﹣8m+1≤0，

解得：≤m≤；

∵y＝﹣x2+2mx+m＝﹣（x﹣m）2+m2+m，且≤m≤，

∴當x＝m時，y有最大值m2+m，

又∵m2+m＝（m+）2﹣，

∴當≤m≤時，m2+m隨m的增大而增大，

∴當m＝時，頂點P到達最高位置，即：m2+m＝（）2+＝，

故拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標為（，）．