Question

已知：正方形ABCD，以A為旋轉中心，旋轉AD至AP，連接BP、DP．
（1）若將AD順時針旋轉30°至AP，如圖3所示，求∠BPD的度數？
（2）若將AD順時針旋轉α度（0°＜α＜90°）至AP，求∠BPD的度數？
（3）若將AD逆時針旋轉α度（0°＜α＜180°）至AP，請分別求出0°＜α＜90°、α=90°、90°＜α＜180°三種情況下的∠BPD的度數（圖4、圖5、圖6）．

Answer 1

（1）∵AD=AP，∴∠APD=∠ADP．
∵∠DAP=30°，
∴∠APD=∠ADP=

1

2

（180°-∠DAP）=

1

2

（180°-30°）=75°．（1分）
∵∠DAP=30°，
∴∠BAP=90°-∠DAP=60°．（1分）
又∵AB=AD=AP，∴△ABP是等邊三角形．
∴∠APB=60°．
∴∠BPD=∠BPA+∠APD=60°+75°=135°．（1分）
說明：其他方法，可參照得分．

（2）∵∠ABP+∠BPD+∠ADP+∠DAB=360°，（1分）∠DAB=90°，
∴∠ABP+∠BPD+∠ADP=270°，
即∠ABP+∠BPA+∠APD+∠ADP=270°．
∵AD=AP，∴∠APD=∠ADP．
∵AB=AD=AP，∴∠ABP=∠APB．
∴∠BPD=∠BPA+∠APD=

1

2

×270°=135°．（1分）
說明：其他方法請參照評分．

（3）①當0°＜α＜90°時，如圖2
∵AD=AP，∠DAP=α
∴∠APD=∠ADP=

1

2

(180°-α)=90°-

1

2

α．
∵AB=AD=AP，∠BAP=90°+α，
∴∠ABP=∠APB=

1

2

[180°-(90°+α)]=45°-

1

2

α．
∴∠BPD=∠APD-∠APB=(90°-

1

2

α)-(45°-

1

2

α)=45°．（2分）
②當α=90°時，如圖3，
∵∠BAD+∠DAP=180°，
∴點B、A、P在同一直線上．
∴∠BPD=∠APD=

1

2

（180°-90°）=45°．（1分）
③當90°＜α＜180°時，如圖4．
∵∠APD=

1

2

(180°-α)=90°-

1

2

α．∠BAP=[360°-90°-α]=270°-α．∠BPA=

1

2

[180°-(270°-α)]=

1

2

α-45°．
∴∠BPD=∠BPA+∠DPA=90°-

1

2

α+

1

2

α-45°=45°．（2分）
說明：其他方法請參照評分．